smiles
Математика / 22 сентября 2020 в 9:07

Найдите наименьшее n > 2016 такое, что 1^n + 2^n + 3^n + 4^n не кратно 10.​

Ответы и объяснения
ilp
ilp / 2020-09-22 09:07:09

Ответ:

2020

Пошаговое объяснение:

1^n и 3^n нечетны, а значит их сумма четна. Тогда 1^n+2^n+3^n+4^n четно, т.е. кратно 2.

1^n + 2^n + 3^n + 4^n=1^n + 2^n + (5-2)^n + (5-1)^n\equiv 1^n + 2^n + (-2)^n + (-1)^n(mod\; 5)

Если n нечетно, то 1^n + 2^n + (-2)^n + (-1)^n=1^n + 2^n -2^n -1^n=0 - а значит 1^n+2^n+3^n+4^n делится на 5 => для нечетных n

Иначе: n=2k=>1^n+2^n+3^n+4^n=1^k + 4^k + 9^k + 16^k\equiv 1^k + 4^k + (-1)^k + (-4)^k (mod\; 10)

Если k нечетно, 1^k + 4^k + (-1)^k + (-4)^k= 1^k + 4^k -1^k -4^k =0 - а значит 1^n+2^n+3^n+4^n делится на 10.

Иначе k=2l=> 1^k + 4^k + (-1)^k + (-4)^k =1^l + 16^l + 1^l +16^l=2+2*16^l\equiv 2+2*6^l(mod\; 10)\equiv\left [6^l\equiv 6(mod\; 10)\right ] \equiv2+2*6(mod\; 10)=14\equiv 4(mod\; 10) - а значит для четного k 1^n+2^n+3^n+4^n не делится на 10.

n=4l>2016=>l>504=>l_{min}=505=>n_{min}=4*505=2020

Добавить ответ


Мозг / Ответ
Сомневаешься в ответе? Смотреть другие ответы
УЗНАВАЙ БОЛЬШЕ НА школьникам!

У тебя проблема с домашними заданиями? Попроси о помощи!

  • 80% ответов приходят в течение 10 минут;
  • Мы не только ответим, но и объясним;
  • Качество гарантируется нашими экспертами.
Хочу завести аккаунт!

Что ты хочешь узнать?

Самые новые вопросы

Другие предметы / 20 октября 2020 в 23:14

0 Просмотров
Другие предметы / 20 октября 2020 в 23:07

0 Просмотров
Другие предметы / 20 октября 2020 в 22:42

1 Просмотров